Education

                 இன்றைய சூழலில் வங்கி கணக்குகள்   மற்றும்   பணப்பரிமாற்றம் போன்றவை    மனித   வாழ்வில் இன்றியமையாத   தேவைகளாக உள்ளன.  எனவே   இவை   பற்றி    நாம் அறிந்து   கொள்ள   வேண்டியது அவசியம்   ஆகும்.  இத்தகைய தகவல்களை   அறிந்து   கொள்ள நேர்க்கோட்டு   வரைபடங்களைப்   பற்றி படித்தறிதல்  வேண்டும். எ.கா:            ஒரு   குறிப்பிட்ட   நாளில்   ஒரு யூரோவிற்கு சமமான  பணப் பரிமாற்ற வீதம் ₹55 எனில் பின்வருவனவற்றைக் காண்க. (1)  4 யூரோக்களுக்கு சமமான ரூபாயின்         மதிப்பு. (2)  6 யூரோக்களுக்கு சமமான ரூபாயின்         மதிப்பு. (3)  ₹275 - க்கு சமமான யூரோவின் மதிப்பு (4)  ₹275 - க்கு சமமான யூரோவின் மதிப்பு தீர்வு:       ...

         ஒரு வரைபடத்தாளில் வரையப்பட்ட  தள     உருவங்களின்      பரப்பளவை அவற்றால்    அடைபடும்     பகுதிகளில் உள்ள     அலகு     சதுரங்களை    எண்ணி தீர்மானிப்பதே     தள     உருவங்களின் பரப்பளவு   ஆகும். எ.கா:       A(5,3) , B(-3,3) , C(-3,-4) , D(5,-4) ஆகிய புள்ளிகளைக்   குறித்து    ABCD    என்ற வடிவத்தால்    அடைபடும்    பகுதியின் பரப்பளவு    காண்க. தீர்வு:                                    சதுரத்தால் அடைபடும் பகுதியிலுள்ள  அலகு சதுரங்களின் எண்ணிக்கை 56 ஆகும்.      எனவே சதுரத்தின் பரப்பளவு ,                       A = 56 சதுர அலகுகள்.       ...

           நேரம்     மற்றும்   காலத்திற்கு  இடையேயான தொடர்பு ,பக்கம் மற்றும் பரப்பளவிற்கு இடையேயான தொடர்பு மற்றும் ஒரு எண்ணிற்கும் அதன் மடங்கிற்கும் இடையேயான தொடர்பு ஆகியவற்றை குறிக்கும் வரைபடங்களே நேர்க்கோட்டு வரைபடங்கள் ஆகும். நேர்க்கோட்டு வரைபடம்:             ஒரு வரைபடத்தாளில் ஏதேனும் இரண்டு புள்ளிகளை இணைப்பதன் மூலம் ஒரு நேர்க்கோடு கிடைக்கிறது, எனில் அந்த வரைபடத்தை நேர்க்கோட்டு வரைபடம் என்கிறோம். எ.கா:           ஒரு சதுரத்தின் சுற்றளவுக்கும் பக்கத்திற்கும் இடையே உள்ள தொடர்பைக் காட்டும் நேர்க்கோட்டு வரைபடத்தை வரைக. தீர்வு:        ஒரு சதுரத்தின் சுற்றளவு என்பது அதன் பக்கத்தைப் போன்று நான்கு மடங்கு ஆகும்.          அதாவது , P = 4a புள்ளிகள் :(0,0) , (1,4) , (2,8) , (3,12) , (4,16)         இத்தகைய நேர்க்கோட்டு வரைபடங்களின் மூலம் பல்வேறு நிகழ்வுகளுக்கு இடையேயான தொடர்பினை அறியலாம்.

             ஒரு புள்ளியை இரு அளவுகளைக் கொண்டு   அதாவது  ஒரு  கிடை  மற்றும் ஒரு  செங்குத்து அளவுகளைக் கொண்டு குறிப்பிடும்   முறையே  கார்டீசியன் அமைப்பு எனப்படும்.                         ஆய அச்சுகள்:                   கார்டீசியன் தளத்தில் , கிடைமட்டமாக உள்ள அச்சு x- அச்சு எனவும் , செங்குத்தாக உள்ள அச்சு y- அச்சு எனவும் அழைக்கப்படும்.                      ஆய அச்சுகள் கார்டீசியன் தளத்தை நான்கு கால் பகுதிகளாக பிரிக்கின்றன.                                 முதல் கால்பகுதி -----> (+ , +)                        இரண்டாம் கால்பகுதி -----> (- ,+)              ...

              அடுத்துள்ள பக்கங்கள் சமமாக உள்ள செவ்வகம் சதுரம் ஆகும்.                   சதுரத்தின் பண்புகள்: எல்லாக் கோண அளவுகளும் சமம். எல்லாப் பக்க அளவுகளும் சமம். ஒவ்வொரு கோணமும் செங்கோணம். மூலைவிட்டங்கள் சம அளவுடையன. மூலைவிட்டங்கள் ஒன்றையொன்று செங்கோணத்தில் இருசமக் கூறிடுகின்றன. சதுரத்தின் பரப்பளவு: பரப்பளவு = பக்கம் × பக்கம் A = a × a சதுர அலகுகள்.                     ஒரு பக்க அளவு அல்லது ஒரு மூலைவிட்டம் கொடுக்கப்பட்டிருந்தால் பொருத்தமான வடிவியல் உபகரணங்களை பயன்படுத்தி சதுரம் வரைந்து பரப்பளவு சூத்திரம் மூலம் பரப்பளவு கணக்கிட இயலும்.

          இணைகரத்தில் ஒரு கோண அளவு 90° எனில் அந்த இணைகரம் செவ்வகம் ஆகும்.                           செவ்வகத்தின் பண்புகள்: எதிர்ப்பக்கங்கள் சமம். எல்லாக் கோண அளவுகளும் சமம். ஒவ்வொரு கோண அளவும் 90°. மூலைவிட்டங்களின் அளவுகள் சமம். மூலைவிட்டங்கள் ஒன்றையொன்று இருசமக் கூறிடும். செவ்வகத்தின் பரப்பு:           செவ்வகத்தின் பரப்பு ,             A = நீளம் × அகலம் சதுர அலகுகள்.          நீளம் மற்றும் அகலம் அல்லது ஒரு பக்கம் மற்றும் மூலைவிட்டம் கொடுக்கப்பட்டிருந்தால் பொருத்தமான வடிவியல் உபகரணங்களை பயன்படுத்தி செவ்வகம் வரைந்து பரப்பளவு சூத்திரம் மூலம் பரப்பளவு கணக்கிட இயலும்.

         அடுத்துள்ள பக்கங்கள் சமமாக உள்ள ஓர் இணைகரம் சாய்சதுரம் ஆகும்.                  சாய்சதுரத்தின் பண்புகள்: அனைத்து பக்கங்களும் சமம். எதிர்க் கோண அளவுகள் சமம் மூலைவிட்டங்கள் ஒன்றையொன்று செங்குத்தாக இருசமக் கூறிடுகின்றன. எவையேனும் இரு அடுத்துள்ள கோண அளவுகளின் கூடுதல் 180° ஆகும். ஒவ்வொரு மூலைவிட்டமும் சாய்சதுரத்தை இரண்டு சர்வசம முக்கோணங்களாகப் பிரிக்கின்றன. மூலைவிட்டங்கள் அளவில் சமமற்றவை. சாய்சதுரத்தின் பரப்பளவு:       சாய்சதுரத்தின் பரப்பு , A = 1/2 × d₁ × d₂ சதுர அலகுகள்.         சாய்சதுரத்தின் பண்புகளை பயன்படுத்தி தரப்பட்ட  அளவுகளை கொண்டு சாய்சதுரம் வரைந்து பரப்பளவு சூத்திரம் மூலம் வரையப்பட்ட சாய்சதுரத்தின் பரப்பளவை கணக்கிடலாம்.              

                  ஒருபடிச் சமன்பாடுகளை தீர்த்தல் என்பது அச்சமன்பாட்டிலுள்ள மாறியின் மதிப்பை கணக்கிடுவது ஆகும். எ.கா 1:         5x - 13 = 42 இன் தீர்வைக் காண்க.          தீர்வு:                   5x - 13 = 42                           5x = 42+13                           5x = 55                             x = 55/5                             x = 11 எ.கா 2:         தீர்க்க: 2x +5 = 23 - x         தீர்வு:                  2x + 5 = 23 - x               ...

                மாறிகள் , மாறிலிகள் மற்றும் இயற்கணிதக் கோவைகள் பற்றி நன்கு கற்றறிந்துள்ளோம்.  ஒருபடிச் சமன்பாடு:            அடுக்கு அல்லது படியை ஒன்றாகக் கொண்ட ஒன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட மாறிகளால் ஆன சமன்பாட்டை நேரியல் அல்லது ஒருபடிச் சமன்பாடு என்கிறோம். எடுத்துக்காட்டு :           2x - 8=0 என்பது ஒருபடிச் சமன்பாடு ஆகும்.        ஒரு மாறியில் அமைந்த ஒருபடிச் சமன்பாடு:             ax + b = 0 , என்ற ஒருபடிச் சமன்பாட்டில் x என்ற ஒரே ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால் இது ஒரு மாறியில் அமைந்த ஒருபடிச் சமன்பாடு ஆகும்.            ஒரு மாறியில் அமைந்த ஒருபடிச் பமன்பாட்டிற்கு ஒரே ஒரு தீர்வு மட்டுமே உண்டு.                இந்த கருத்துகளை பயன்படுத்தி ஒருபடிச் சமன்பாடுகளுக்கு தீர்வு காணலாம்.     

                       சாதாரணமாக எண்களின் வகுத்தலைப் போன்றே இயற்கணிதக் கோவைகளின் வகுத்தலும்  அமையும் . இதில் கூடுதலாக aᵐ/aⁿ = aᵐ-ⁿ  என்ற அடுக்கு விதி பயன்படுத்தப் படுகிறது. ஓர் ஓருறுப்புக் கோவையை மற்றோர் ஓருறுப்புக் கோவையால் வகுத்தல் ஒரு பல்லுறுப்புக் கோவையை ஓர் ஓருறுப்புக் கோவையால் வகுத்தல் ஆகிய இரண்டு முறை வகுத்தல் பற்றி இப்பகுதியில் காண்போம். எ.கா: சுருக்குக:          (1)  10x⁵ ÷ 2x²          (2)  (8x³ - 5x² + 6x) ÷ (2x) தீர்வு: (1)   10x⁵ ÷ 2x² = 10x⁵ / 2x²                           = (2×5×x×x×x×x×x) / (2×x×x)                           = 5×x×x×x                           = 5x³ (2)   (8x³ - 5x² + 6x) ÷ (2x)         ...

        ஒவ்வொரு பல்லுறுப்புக் கோவைகளும் அவற்றின் தன்மைக்கேற்ப வெவ்வேறு முறைகளில் காரணிப்படுத்தப் படுகின்றன.இந்த முறைகளையே காரணிப்படுத்தும் முறைகள் என்கிறோம். காரணிப்படுத்தலின் முறைகள்: பொதுக்காரணியை வெளியே எடுத்துக் காரணிப்படுத்தல் உறுப்புகளைத் தொகுத்து காரணிப்படுத்தல் முற்றொருமைகளை பயன்படுத்தி காரணிப்படுத்தல் எ.கா:           (x+a)(x+b)  என்ற முற்றொருமையை பயன்படுத்தி பின்வரும் பல்லுறுப்புக் கோவையை காரணிப்படுத்துக:                 x²+5x+6 தீர்வு:         x²+5x+6 ஐ x²+(a+b)x+ab உடன் ஒப்பிட, ab = 6 , a+b = 5 ,x=x என கிடைக்கிறது.                x²+5x+6 = x²+(2+3)x+(2×3)         x²+5x+6 = (x+2)(x+3) ஃ  x²+5x+6  இன் காரணிகள் (x+2) ,(x+3) ஆகியவை ஆகும்.

               எண்களை காரணிப்படுத்துதல் என்பது ஒரு எண்ணை அதன் வகுத்திகளின் பெருக்கற்பலனாக எழுதுவதே ஆகும். எண்களைப் போன்று இயற்கணிதக் கோவைகளையும் காரணிப்படுத்த இயலும்.          எந்தவொரு பல்லுறுப்புக் கோவையையும் அதன் காரணிகளின் பெருக்கற் பலனாக எழுதுவதை காரணிப்படுத்தல் என்கிறோம். எ.கா: பின்வருவனவற்றை காரணிப்படுத்துக. 1. 6x³ 2. 3a²b + 3ab² 3. 2x² + x - 6 தீர்வு: 1. 6x³ = (2x)(3x²) 2. 3a²b + 3ab² = (3×a×a×b) + (3×a×b×b)                           = 3ab(a+b) 3. 2x² + x - 6 = 2x²+4x-3x-6                        = 2x(x+2)-3(x+2)       2x² + x -6 = (x+2)(2x-3)         காரணிப்படுத்தல் முறையில் பெரிய இயற்கணிதக்கோவைகளை எளிய கோவைகளாக பிரித்து எழுத இயலும்.

பல அடிப்படை முற்றொருமைகளை நாம் அறிந்திருப்போம்.அவற்றின் கூடுதல் மற்றும் வித்தியாசங்களை காண்பதன் மூலம் சில புதிய முற்றொருமைகளை நாம் பெறலாம்.இச்செயல் முறையே பயனுள்ள முற்றொருமைகளைத் தருவித்தல் எனப்படும்.        தருவிக்கப்பட்ட   சில   எளிய முற்றொருமைகள்:   1/2[(a+b)² + (a-b)²] = a²+b²  1/4 [(a+b)² - (a-b)²] = ab  (a+b)² - 2ab =  a²+b²  (a+b)² - 4ab = ( a-b)²  (a-b)² + 2ab = a²+b²  (a-b)² + 4ab = (a+b)²             இத்தகைய முற்றொருமைகளை பயன்படுத்தி குறைவான நேரத்தில் விரைவாக கணக்குகளுக்கு தீர்வு காண முடியும்.

         முற்றொருமைகளை தேவைக்கேற்ப பொருத்தமான சூழலில் பயன்படுத்தி கணக்குகளுக்கு தீர்வு காண்பதே முற்றொருமைகளின் பயன்பாடு எனப்படும். எ.கா: (a+b)(a-b)=a²-b² என்ற முற்றொருமையை பயன்படுத்தி பின்வருவனவற்றை மதிப்பிடுக. 1. (x+3)(x-3) 2.  (5a+3b)(5a-3b) 3.  52×48 4.  997²-3² தீர்வு: 1. (x+3)(x-3) = x²-3²                        =x²-9 2.  (5a+3b)(5a-3b) = (5a)²-(3b)²                                 =25a²-9b² 3.  52×48 = (50+2)(50-2)                 =50²-2²                 =2500-4                  =2496 4.  997²-3² = (997+3)(997-3)                   =(1000)(994)             ...

               இயற்கணிதம் மற்றும் பிற கணிதப் பகுதிகளில் தீர்வுகளைக் காண பயன்படும் எளிய சூத்திரங்களே முற்றொருமைகள் ஆகும்.          மாறி ஏற்கும் எல்லா மதிப்புகளும் ஒரு சமன்பாட்டை  நிறைவு செய்யும் எனில் அச்சமன்பாடு ஒரு முற்றொருமை எனப்படும். எ.கா:         (X+2)(x+3) = x+5x+6 என்பது முற்றொருமை ஆகும். (a+b)² = a²+2ab+b² முற்றொருமையை வருவித்தல்:              (a+b)² = (a+b)(a+b)                          (a+b)² = a(a+b) + b(a+b)              (a+b)² = a²+ab+ab+b²              (a+b)² = a²+2ab+b²         முற்றொருமைக்கான வடிவியல் விளக்கம்:                        இதே போன்று இயற்கணிதக் கோவைகளின் பெருக்கல்  முறையை    பயன்படுத்தி ...

                   மாறிகள் மற்றும் மாறிலியோடு இணைந்த மாறிகளின் பெருக்கற் பலனை அடுக்கு விதி மற்றும்  பங்கீட்டுப் பண்பை பயன்படுத்தி கண்டறிவதே இயற்கணிதக் கோவைகளின் பெருக்கல் ஆகும். எ.கா: சுருக்குக: (x+3) × (x²-5x+7) (x+3) × (x²-5x+7) = x (x²-5x+7) + 3 (x²-5x+7)                                = x³-5x²+7x+3x²-15x+21 (x+3) × (x²-5x+7) = x³-2x²-8x+21           இரண்டு ஈருறுப்புக் கோவைகளின் பெருக்கற்பலனின் படி அவ்விரு கோவைகளின் படிகளின் கூடுதல் ஆகும்

             சாதாரண எண்களின் கூட்டல் மற்றும் கழித்தலுக்கும் இயற்கணிதக் கோவைகளின் கூட்டல் மற்றும் கழித்தலுக்குமிடையே குறிப்பிடத்தக்க வேறுபாடு உள்ளது.             ஒத்த உறுப்புகளை மட்டுமே கூட்டவோ கழிக்கவோ இயலும் .ஒத்த உறுப்புகள் என்பவை ஒரே மாறி மற்றும் ஒரே அடுக்குகளை கொண்டவை ஆகும்.        2x , 9x ஆகியவை ஒத்த உறுப்புகள் ஆகும். எ.கா: 3x³+x²-2 , 2x²+5x+5  ஆகியவற்றைக் கூட்டுக. தீர்வு:                    3x³+  x²+0x- 2                    0x³+2x²+5x+5                   ----------------------                    3x³+3x²+5x+3                   ----------------------            இயற்கணிதக் கோவைகளின் கூடுதல் மற்றும் வித்த...

           பல்லுறுப்புக்கோவையானது அதன் உறுப்புகளின் எண்ணிக்கையின் அடிப்படையில் வகைப்படுத்தப்படுகிறது. ஓருறுப்புக்கோவை             2 x²,3ab,a²b          ஈருறுப்புக்கோவை              4a-3b,2-3x²y மூவுறுப்புக்கோவை              x²y+y²z-z பல்லுறுப்புக்கோவை        முடிவுறு எண்ணிக்கையில் அமைந்த பூச்சியமற்ற கெழுவை உடைய பல உறுப்புகளைக் கொண்ட கோவை பல்லுறுப்புக்கோவை எனப்படும்.     எ.கா: a+b+c+d, 3x⁵+4x⁴-3x³+72x+5 பல்லுறுப்புக்கோவையின் படி       பல்லுறுப்புக்கோவையின் உறுப்புகளின் மிக உயர்ந்த அடுக்கு படி எனப்படும்.      3x⁵+4x⁴-3x³+72x+5 இன் படி 5 

           அலெக்ஸாண்டிரியாவில் வாழ்ந்த கிரேக்க கணித மேதை டயோஃபாண்டஸ் இயற்கணிதத்தின் தந்தை என அழைக்கப்படுகிறார். இயற்கணிதக்கோவை:            மாறி மற்றும் மாறிலிகளை கணித செயல்பாடுகள் மூலம் இணைத்து உருவாக்கப்படும் கோவை இயற்கணிதக் கோவை எனப்படும். எடுத்துக்காட்டு:        x+5 , 4z-6 இயற்கணிதக் கோவையின் மதிப்புகள்:         ஒரு கோவையில் உள்ள மாறிகளின் மதிப்புகள் மாாறும் போது கோவையின் மதிப்பும் மாறும்.      x+5 இல், x=1 எனில் மதிப்பு 6 ஆகும்.         இவ்வாறு மதிப்புகளை கண்டறிவது இயற்கணித கோவைகளுக்கு.தீர்வு காண உதவுகிறது .                  

               முக்கோணம் என்பது மூன்று கோட்டுத் துண்டுகளால் அடைபடும் உருவம் என்பது நாம் அறிந்ததே.         இதில் ஏதேனும் இரண்டு பக்கங்கள் மட்டும் சமமெனில் அதனை இருசமபக்க முக்கோணம் என்பர்.                                                முக்கோணத்தின் சமபக்கங்கள் மற்றும்  கோணங்களுக்கு  இடையேயான தொடர்பினை கூறுவதே இருசமபக்க முக்கோணத்தேற்றம் ஆகும்.    இருசமபக்க முக்கோணத் தேற்றம்:           ஒரு    முக்கோணத்தில் சமபக்கங்களுக்கு எதிரேயுள்ள கோணங்கள் சமம்.         இருசமபக்க முக்கோணத் தேற்றத்தின் மறுதலை:         ஒரு முக்கோணத்தில் சம கோணங்களுக்கு எதிரேயுள்ள பக்கங்கள் சமம்.        இவ்விரு தேற்றங்களையும் பயன்படுத்தி ஒரு இருசமபக்க முக்கோணத்தின் பக்கம் மற்றும் கோண அளவுகளை கண்டறியலாம்.     ...

            முக்கோணங்களின் சர்வசமத் தன்மையை கண்டறிய கொள்கைகளை நாம் பயன்படுத்துகிறோம்.இவ்வாறு கொள்கைகளை பயன்படுத்தி முக்கோணங்களை ஆராய்வதே சர்வசமத் தன்மையின் பயன்பாடு எனப்படும். எடுத்துக்காட்டு:           படத்திலிருந்து ∆ DAB ≡ ∆ CAB என நிறுவுக. தீர்வு:           DAB = 35° + 20° = 55° = CBA           DBA = CAB =20°           AB என்பது பொதுப்பக்கம்.           ஃ கோ - ப - கோ கொள்கையின் படி,           ∆ DAB ≡ ∆ CAB.       இதே போன்று பல்வேறு கூற்றுகளை நிரூபிக்க முக்கோணங்களின் சர்வசமத் தன்மை பயன்படுகிறது.   

         ஏதேனும் இரு பொருள்கள் அளவிலும் வடிவத்திலும் ஒத்ததாக இருப்பின் அவை சர்வசம தன்மை உடையவை ஆகும்.பின்வரும் படங்களைக் கருதுவோம்                                          படங்களில்  உள்ள இரண்டு நூறு ரூபாய் நோட்டுகள் மற்றும் இரண்டு இலைகளும் அளவிலும் ஒத்துள்ளன. எனவே இவை சர்வசமம் ஆகும்.        அதாவது, இரு தள உருவங்கள் ஒன்றின் மீது ஒன்று சரியாகப் பொருந்தினால் அவை சர்வசமம் எனப்படும். இதை ' ≡ ' என்ற குறியீட்டின் மூலம் குறிக்கலாம்.         இரு முக்கோணங்களில் ஏதேனும் ஒரு முக்கோணத்தின் மூன்று பக்கங்களும் மூன்று கோணங்களும் முறையே மற்றொன்றின் மூன்று பக்கங்களுக்கும் மூன்று கோணங்களுக்கும் சமம் எனில் அவை சர்வசம முக்கோணங்கள் எனப்படும்.          முக்கோணங்களின் சர்வசம தன்மைக்கான அடிப்படைக் கொள்கைகள்:   1) ப-ப-ப அடிப்படை கொள்கை   2) ப-கோ-ப அடிப்படை கொள்கை   3)   க...

             ஒரு முக்கோணம் என்பது மூன்று கோட்டுத்துண்டுகளால் அடைபடும் மூடிய வடிவம் என்பது நாம் அறிந்ததே. அந்த மூன்று கோட்டுத்துண்டுகளும்  அளவுகளைக் கொண்டுள்ளன.அந்த அளவுகளை குறிக்கும் தனிப்பண்பு முக்கோணத்தின் சமனின்மைப்பண்பு எனப்படும். சமனின்மைப்பண்பு :          ஒரு முக்கோணத்தின் ஏதேனும் இரு பக்க அளவுகளின் கூடுதல் மூன்றாவது பக்க அளவை விட அதிகமாகும். எடுத்துக்காட்டு:         23 செ.மீ,17 செ.மீ மற்றும் 8 செ.மீ ஆகியவை முக்கோணத்தின் பக்கங்களா என ஆராய்க. தீர்வு:           23+17 = 40 > 8             17+8 =25 > 23             23+8 = 31 >17        தரப்பட்ட அளவுகள் முக்கோணத்தை அமைக்கும்.      எனவே முக்கோணத்தை சரியாக அமைப்பதற்கு சமனின்மைப்பண்பு உதவுகிறது.

         முக்கோணம் என்பது மூன்று கோட்டுத்துண்டுகளால் அடைபடும் மூடிய வடிவம் ஆகும்.          ஒரு முக்கோணம் அமைக்க மூன்று கோண அளவுகள் தேவை. அந்த கோண அளவுகளும் சில குறிப்பிட்ட பண்புகளைக் கொண்டுள்ளன. அவையாவன, 1)  ஒரு முக்கோணத்தின் மூன்று                       கோணங்களின் கூடுதல் 180° ஆகும். 2) முக்கோணத்தின் ஏதேனும் ஒரு                   பக்கத்தை நீட்டினால் ஏற்படும்       முக்கோணத்தின்  வெளிக்கோணம்           அதன் உள்ளெதிர்க்கோணங்களின்      கூடுதலுக்குச் சமமாகும். 3) ஒரு முக்கோணத்தின் ஏதேனும் இரு       பக்க அளவுகளின் கூடுதல்      மூன்றாவது பக்க அளவை விட      அதிகம் ஆகும். எடுத்துக்காட்டு:    ∆ABC - இல் A=75°,B=65° எனில் C - இன் மதிப்பைக் காண்க. தீர்வு:        ...

                                                  வடிவியல்                            முக்ணேத்தின் வகைகள்           மாபெரும் கிரேக்க கணிதமேதை யூக்ளிட் வடிவியலின் தந்தை என அழைக்கப்படுகிறார்.வடிவியல் பற்றிய பல்வேறு தகவல்களை திரட்டி யூக்ளிட் எலமன்ட்ஸ் என்ற புத்தகத்தை வெளியிட்டார்.இப்புத்தகத்தில் முக்காேணங்களின் வகைப்பாடும் குறிப்பிடத்தக்க ஒரு பகுதியாகும்.         முக்காேணமானது அதன் பக்கங்கள்  மற்றும் காேணங்களைப் பாெறுத்து ஆறு வகைகளாக வகைப்படுத்தப்பட்டுள்ளது. பக்கங்களை பாெறுத்து: 1)சமபக்க முக்காேணம்         முக்கோணத்தின் மூன்று            பக்கங்களும் சமம். 2)இரு சமபக்க முக்காேணம்         முக்கோணத்தின் ஏதேனும் இரு பக்கங்கள் மட்டும் சமம்.     ...

              கூட்டு உருவங்களில் நிழலிட்ட                  பகுதியின் பரப்பளவு           கூட்டு உருவங்களில் நிழலிட்ட பகுதியின் பரப்பளவு என்பது வட்டம், சதுரம் அல்லது செவ்வகம்   பாேன்ற வடிவங்களில் அடைபட்டுள்ள பிற வடிவங்களை நீக்கி நிழலிட்ட பகுதியின் பரப்பளவு காணுதல் ஆகும். எடுத்துக்காட்டு:                   சதுரத்தின் பக்க அளவு  14 செ.மீ  எனில் நிழலிட்ட பகுதியின் பரப்பளவு காண்க. தீர்வு:                      சதுரத்தின் பக்கம், a =14 செ.மீ ஒவ்வாெரு வட்டத்தின் ஆரம், r = 7/2செ.மீ நிழலிட்ட பகுதியின் பரப்பளவு,A=                   சதுரத்தின் பரப்பளவு- 4×வட்டத்தின்           பரப்பளவு.                           ...

                நிழலிட்டபகுதியின் பரப்பளவு    காணுதல்           நிழலிட்ட பகுதியின் பரப்பளவு என்பது ஏதேனும் ஒரு படத்தில் வண்ணமிடப்பட்ட பகுதியின் பரப்பளவு ஆகும். எடுத்துக்காட்டு:  படத்தில் நிழல்  இடப்பட்டுள்ள பகுதியின் பரப்பளவு      காண்க தீர்வு: அரைவட்டம்  ADB இன் ஆரம் r1=5செ.மீ அரைவட்டம்  BEC இன் ஆரம் r2 =4செ.மீ அரைவட்டம்  CFA.இன் ஆரம் r3 =3செ.மீ     நிழலிட் பகுதியின் பரப்பளவு,A=                             அரைவட்டம் ADB இன் பரப்பளவு+                 அரைவட்டம் BEC இன் பரப்பளவு+                அரைவட்டம் CFA இன் பரப்பளவு A = (π×r1×r1)/2+(π×r2×r2)/2+(π×r3×r3)/2 A = (275/7) + (176/7) + (99/7) A = 550/7 A = 78.571 சதுர செ.மீ                இவ்வாறு வெவ்...

                                     கூட்டு உருவங்கள்                    நாம் அன்றாட வாழ்வில் பல்வேறு வடிவங்ளை பார்த்திருப்பாேம். அவற்றில் நமக்கு மிகவும் தெரிந்தவை முக்காேணம் , அரை வட்டம் ,சதுரம் , செவ்வகம்  ஆகியவை ஆகும் . இவற்றின் இணைப்பால் உருவாவதே கூட்டு உருவங்கள் ஆகும்.              உருவங்களின்  இணைப்பு  நிலை  என்பது சில தள உருவங்களின் ஒன்றின் பக்க நீளத்தை மற்றாென்றின் ஒத்த பக்க நீளத்திற்கு சமமாக அடுத்தடுத்து வைத்து உருவாக்கப்படும்  அமைப்பு  ஆகும் .          இரண்டு அல்லது மூன்று உருவங்களை ஒன்றின் பக்கத்தில் மற்றாென்றை வைத்தால் புது உருவம் கிடைக்கிறது . இவை கூட் டு உருவங்கள் எனப்படும்.   எ.கா கணக்குகள்:                    படத்தின் சுற்றளவு மற்றும் பரப்பளவு காண்க. ...